什么是循环小数（数与代数之循环小数）

什么是循环小数（数与代数之循环小数）

一．概念描述

现代数学：循环小数的定义一般有如下两种：

①从小数点后某一位开始不断地重复出现一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数或无限循环小数：被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。如3.258258258......=3.258(2和8上添一个小点)。

循环小数分为两大类：混循环小数和纯循环小数。

混循坏小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数，如3. 258(5和8上添一个小点)。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，如3.258(2和8上添一个小点)。

②公理化定义：

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对一个无限小数0.a1a2…an。…，若能找到两个正整数s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i。（i=1，2，…，t;k=l，2，…）成立，则称此无限小数为循环小数，记为0.a1a2...ass+1...s+t。对于一个循环小数而言，满足上式的s,t值有无数多个，如果取其中最小的s,t值，则称as+1as+2...as+t为这个循环小数的循环节，t称为循环节的长度；若最小的s=0，则这个循环小数称为纯循环小数；如果最小的s>0，则相应的循环小数称为混循环小数，并把小数点之后至循环节之前的部分a1a2...as称为非循环节。任何一个循环小数必可化为分数。

从数学的观点看，第一个定义通俗易懂，小学数学教材的表述与其相似。第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学：2005年人教版教材五年级下册的第28页明确指出：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。

这与"循环小数"在现代数学中的第一个定义是基本上一致的。在小学数学教材中考虑到学生的认知，不提及十进制，而是默认为十进制无限小数。

二．概念解读

循环小数是在实际度量和生产生活中产生的。在度量和均分时，往往会出现这样的情况：

在除法中，两个数相除，如果得不到整数商，一般会有两种情况：一种得到有限小数，一种得到无限小数。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算通行无阻，的确需要引进一种新的数，这样分数便应运而生。

循环小数其实是有理数的小数表现形式。比如三分之一、七分之二等简单的分数，在生活实际中有时又需将分数表示为小数，进而会出现循环小数。

有时根据需要可以将循环小数化为分数。这有两种情况：

一个纯循环小数的小数部分可以化成这样的分数：分子是一个循环节所表示的数；分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节中数字的个数。

一个混循环小数的小数部分可以化成这样的分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数，与小数部分中不循环部分的数字所组成的两数之差；分母的前几位数字全是9，9后面的数字全是0，9的个数等于一个循环节中的数字个数，0的个数等于不循环部分数字的个数。

三．教学建议

循环小数是学生较难理解和表述的一个概念，特别是表达其意义的一些抽象说法，如"循环"、"无限"等。因此，教学中教师要通过情境的创设，帮助学生理解概念。

(1)循环小数的意义可通过直观体验突破难点

黄爱华老师在教学循环小数时，以"从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说……"这个故事引入。学生在接着讲故事的生动有趣的情境中，感受着、体验着循环小数所具有的"无限"、"依次"、"不断"、"重复"等本质特点，使抽象的数学概念具体化。同时，教师用直观形象的方法在课的开始扫除了障碍，使难点分散，为下面学习循环小数的意义做好了铺垫。

(2)循环小数的意义通过除法计算不断完善

故事引入后，黄老师出示两条信息："乌龟6分钟爬70米，蜗牛11分钟爬9.4米"，让学生独立计算乌龟和蜗牛的速度。(70÷6=11.66……，9. 4÷11=0. 85454……）

有些学生算了一会儿就停下了笔，有的怀疑老师出错了题---他们发现这样算下去永远都除不完，这正是学生通过计算初步体验循环小数的无限。

黄老师进而引发学生思考"你为什么不继续除下去？你遇到了什么情况，发现了什么规律？"，以引导学生通过观察竖式发现其中的规律，让学生在计算实践中发现问题并尝试解决，通过讨论交流理解概念。计算过程中，让学生亲身经历循环小数产生的过程，能够使其加深对循环小数的理解，充分感受到循环小数是无限的。至此，黄老师再让学生说一说什么是循环小数。有了前面的直观体验，再通过计算的实践，学生通过交流就能够不断完善循环小数的意义。

接着，师生通过讨论"该怎样表示这两道题的商呢？"，由此得出循环小数的一般记法。

一般来说，学生的表示方法可能有以下几种，教师可以结合学生的四答讨论循环小数的记法

70÷6=11.6…… （表示小数部分无限，但未表示数字的重复）

70÷6=11. 66666…… （可以这样表示，但太麻烦了，不用写那么多"6"）

70÷6=11.6 （6上添一个小点；循环小数的简便记法）

70÷6=11. 66…… （既表示无限，又表示了"6"这个数字不断重复）

这是让学生积极寻找解决表不循环小数的方法。这一过程突出了知识的形成过程，揭示了简写背后蕴含的道理，使学生掌握其简写的方法。

四．推荐阅读

（1)《数学辞海·第一卷》（裘光明，山西教育出版社，2002）

该书第29页有对"循环小数"及其相关概念的详细解读。

(2)《听名师讲课：数学卷》（雷玲，广西教育出版社，2004）

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