单纯形算法基本原理(单纯形算法求解线性规划问题)

单纯形算法基本原理(单纯形算法求解线性规划问题)

单纯型算法是求解线性规划问题（LP）的一个经典算法，在单纯型算法中最耗时的模块是计算矩阵的逆矩阵的算法。网络单纯形算法是单纯形算法的一个特殊版本，它使用生成树基来更有效地解决具有纯网络形式的线性规划问题。这样的LP问题可以用有向图上的公式来建模，作为一个最小费用流问题。

网络单纯型是指如下形式的LP问题：

其中，每列只包含一个1和一个-1，其他系数都是0。

下面是一个例子：

该问题可以看做是最小费用流问题（Minimum cost flow problems）的图形式。

图G=（V,E），顶点V表示行（约束），边E表示列（变量），对于矩阵A中一个列，第i行有个1，第k行有个-1，表示图G中的一条边（i，k）。

对于上述例子，可以用下图表示：

网络流问题满足Hoffman&Gale’s conditions,因此可以确保得到整数解。

【关联矩阵】：对于图G=（V,E）的关联矩阵A可以表示为：

上例中的关联矩阵可以表示为：

【路径】：

连通图：图中任意两个顶点都有路径。生成树：图G的一个子图T，包含图G中所有顶点。性质：rank(A)=n-1，n是结点个数。

我们新增一个变量w，A中增加一个列

r∈{1,2……n}中任意一个值，w=0，则LP模型为：

其中，r称为根节点(root vertex)，w称为根边（rootedge）(going nowhere)

对于上述例子，假如选择根节点 r=2

A 是图G的关联矩阵，T是G的生成树，则(A│e_r )的基B=e_r∪{a_e |e∈T}

【单纯型算法】：

我们可以从根节点进行先序遍历，得到y2=0, y1-y2=1, y1-y3=10，即依次遍历基5，基1，基4伪代码：(递归)solve(Vertex p,Tree S){//p是树S的根节点Vertex v=root(S);if(v==r) y[r]=c[w];else if ((p,v)∈E y[v]=y[p]-c[(p,v)];else y[v]=y[p]+c[(v,p)];solve(v,S.left());solve(v,S.right());}

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